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哥德巴赫猜想是指什么(皇冠上的明珠-哥德巴赫猜想之谜)

100次浏览     发布时间:2024-08-16 14:15:56     编辑: 晚晴声

哥德巴赫猜想内容及演变

哥德巴赫猜想最原始的表述是:任一大于2的整数都可写成三个素数之和。由于以前认为1也是素数,现在已经约定1既不是素数,也不是合数,因此3和4可以排除在外了。原初猜想的陈述变为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。由于n可以拆成2+n-2或者3+n-3、不管n是奇数还是偶数,都可以通过2、3两个素数把n的剩余部分凑成偶数。因此,大神欧拉欧拉提出另一等价版本,表述更为简洁,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。常见的猜想陈述为欧拉的版本。

哥德巴赫猜想简称“1+1”

素数定义

素数也称质数。是指一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数;否则称为合数。规定1既不是素数也不是合数。

100以内的素数

素数有无穷多个。有很多种方法可以证明这个结论。下面介绍两种比较好理解,也比较巧妙的证法。

第一,法国数学家查尔斯·埃尔米特证明了对于任何n> 1的整数,如果p是n!+1的质因数,那么p> n。因此,有无限多个素数。证明过程:如果p≤n,则p能整除n!。但是p也能整除n!+ 1,所以p能整除n!+ 1﹣n!。所以 p能整除1,这是不正确的,所以p> n。巧妙的利用了阶乘的性质。

第二、Filip Saidak法,通过构造一个无限的数字集,每个数字都包含一个新的素数。令n为大于1的正整数。由于n和n + 1互质,则n(n + 1)必须至少具有两个不同的质数因子。同样,n(n + 1)和n(n + 1)+1互质,因此n(n + 1)(n(n + 1)+1)必须包含至少三个不同的质数因子。这样可以无限扩展下去,因此素数是无穷的。

素数具有以下性质:

1、素数个数S(n)和自然数个数n之比趋近于0。也就是说素数的密度非常低,因为,小于n的素数数量约为n/ln(n),那么,S(n)/n=1/ln(n),当n无穷大时,式子极限为0。

素数定理

2、在一个大于1的数a和它2倍之间必存在至少一个素数。

3、存在任意长度的素数等差数列。

4、若n为正整数,在n的2次方到(n+1)的2次方 之间至少有一个质数。

5、若n为大于或等于2的正整数,在n到n!之间至少有一个质数。

孪生素数

孪生素数就是指相差2的素数对,例如3和5。孪生素数猜想:存在无穷多个素数p,使得p + 2是素数。1849年,阿尔方·德·波利尼亚克提出了关于素数的一个猜想:对所有自然数k,存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。随着数字变大,素数会变得越来越稀少,孪生素数更是稀少。因此寻找大的素数和孪生素数变的非常困难。10000以内共有孪生质数204对,不到5%。

如何寻找孪生素数。

孪生素数一般形式可以写成p,p+2。加上中间的数可以写成p,p+1,p+2。三个连续自然数,必有1个是3的倍数,因此p+1是3的倍数。而素数除了2以外都是奇数,因此与之相邻的p+1必是偶数。所以p+1是6的倍数,即p+1=6n。这样可以得到两个方程p=6n-1,p+2=6n+1。除了p=3,p+2=5的特殊情况,所有的孪生素数必包括其中。但是这两个方程得到的并非都是孪生素数,如,n=6时,35和37不都是素数。也有可能得到的都是合数,如,n=20时,119和121都是合数。但是据说在10000之内寻找素数,准确率还挺高的。

梅森素数

梅森素数由梅森数而来。所谓梅森数,是指形如2^p-1的一类数,其中指数p是素数,常记为Mp,是素数的梅森数就叫梅森素数。

梅森数

对于梅森数,若2^n-1是素数,必是梅森数;反之,梅森数却未必是素数。前几个较小的梅森数大都是素数,然而梅森数越大,梅森素数也就越难出现。

前几个梅森数素数合数情况表

到现在也仅发现51个梅森素数,最大的是M82589933(即2^82589933-1),有24862048位。梅森素数有无穷多个,但是越往后发现越困难。因为需要大量的计算。下图是51个梅森素数具体情况

51个梅森素数列表

哥德巴赫猜想证明历程

哥德巴赫猜想从提出到现在已经有280多年历史了,直到现在都还没被证明,因此也被称为世界三大数学难题之一。如今最好的成就还是中国数学家陈景润的“1+2”证明。也被称为“陈氏定理”。

陈氏定理

说到猜想的证明,不得不提一下逐次逼近法。逐次逼近法是这样一种方法,为了解决一个数学问题,从另一个与该问题的实质内容有着本质联系的较大范围上开始进行解决,逐步缩小范围,逐步逼近,最后达到解决问题的目的。

逐次逼近法图示

先举一个小例子。假如要计算√2,但是没有计算器,也不知道它怎么算,这时就可以用逼近法。首先我们知道1<√2<2。那先取中值1.5,计算后发现1.5²=2.25>2,然后再取1.4²=1.96<2,所以缩小了范围,1.4<√2<1.5。同理再取中值循环以上过程,逐步逼近,最终得到√2的前若干位值。哥德巴赫猜想证明也是如此。由于数学水平的限制,一开始就去证明猜想难度很大。当时也是从同这个问题有本质联系的较大范围开始论证的。1920年,挪威数学家布朗对于这个猜想的论证迈出了重要的一步,他首先证明了每个充分大的偶数都可表示为素因子个数不超过9的两个正整数之和,即(9+9),然后逐步缩小范围:

1924年,德国数学家拉德马哈证明了偶数=(7+7);

1932年,英国数学家爱斯特曼证明了偶数=(6+6);

1938年,苏联数学家布赫斯塔勃证明了偶数=(5+5);

1940年,布赫斯塔勃又证明了偶数=(4+4);

以后又有人证明了偶数=(3+4);

1950年,苏联数学家维诺哥拉多夫证明了偶数=(3+3);

1958年,我国数学家王元证明了偶数=(2+3);

1962年我国数学家潘承洞证明了偶数=(1+5);

同年,王元和潘承洞证明了偶数=(1+4);

1965年,布赫斯塔勃,维诺哥拉多夫和朋比利都证明了偶数=(1+3);

1973年,我国数学家陈景润证明了偶数=(1+2)。这一成果已接近哥德巴赫猜想:偶数=(1+1)的最后解决了。

总结

哥德巴赫猜想至今仍未被完全证明。和它齐名的是黎曼猜想。这个猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼在1859年提出,其内容是关于黎曼ζ函数的非平凡零点都位于 复平面上的一条直线上(称为临界线)的猜想。至今也未被证明。虽然哥德巴赫猜想和黎曼猜想在数学上没有直接的联系,但它们的研究都涉及到素数的性质,或许两者之间有内在的联系。期待这两个猜想被证明的那一天!